Free Imaginary Number Calculator

这个在线 Imaginary Number Calculator 是一款免费的复数运算工具，能够对两个复数进行加、减、乘、除、幂、自然对数等操作，并同时给出每个复数的模和相位。无论你处理的是纯粹虚数还是一般复数，它都是一个理想的 Complex Number Calculator。

复数的基本概念

复数由实部和虚部构成，写作 $a + bi$，其中 $a, b \in \mathbb{R}$，虚数单位 $i$ 满足 $i^2 = -1$。当 $a=0$ 且 $b \neq 0$ 时，该数称为虚数——这是 Imaginary Numbers 的核心定义。复数的实部和虚部分别记作 $\Re(z)$ 和 $\Im(z)$。

表示的两种形式

直角坐标形式

$z = a + bi$ 是最直观的表示，便于加减运算，也是 a+bi Calculator 常用的输入格式。

极坐标形式

通过模 $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ 和幅角 $\phi$（使用 $\phi = \operatorname{atan2}(b, a)$ 确保正确象限）表示。其指数形式为 $z = r e^{i\phi}$。极坐标使乘除、幂和对数运算变得简洁，正是 Complex Arithmetic Calculator 进行高级计算的基础。

支持的算术运算

加法和减法

实部与实部、虚部与虚部分别相加或相减：

$$(a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)i$$

乘法

利用分配律展开并结合 $i^2 = -1$：

$$(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

除法

通过乘以分母的共轭来有理化：

$$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2 + d^2}$$

复数的幂

将底数转换为极坐标形式：若 $z_1 = r e^{i\phi}$，则

$$z_1^{z_2} = r^{c} e^{-d\phi} \bigl[ \cos(c\phi + d\ln r) + i \sin(c\phi + d\ln r) \bigr]$$

自然对数

$$\ln(z) = \ln|z| + i\phi$$

所有上述运算对实部为零的虚数同样适用。

使用指南

使用这个 a+bi Calculator 只需三个步骤：

1. 输入第一个复数的实部 $a$ 和虚部 $b$；
2. 输入第二个复数的实部 $c$ 和虚部 $d$；
3. 工具立即返回以下结果：
   • 每个复数的模 $|z|$ 和相位 $\phi$（弧度）；
   • 两个复数的和、差、积、商；
   • 第一个复数的第二个复数次幂 $z_1^{z_2}$；
   • 第一个复数的自然对数 $\ln(z_1)$。

所有计算自动化，无需手动执行任何代数步骤，适合学习验证与工程应用。