免费Arctan计算器（反正切）

Arctan计算器（也称为反正切计算器）是一个免费在线工具，用于计算给定正切值对应的角度。无论你需要求1、0或任意实数的反正切，本计算器都会立即输出弧度与度两种结果。它还包含对反正切函数、其图像、常用值、与其他三角函数的关系、导数与积分的详细说明。

什么是 Arctan？

反正切（记作 $\arctan(x)$ 或 $\tan^{-1}(x)$）是正切函数的反函数。正切函数对于给定角度给出直角三角形中对边与邻边的比值，而反正则相反：它返回正切值等于输入的那个角度。但由于正切函数是周期函数，在整个定义域内不是一一对应。为定义有效的反函数，我们将正切的定义域限制在 $(-\pi/2, \pi/2)$ 弧度（或$-90$到$90$度）。这个受限区间称为反正切函数的主值范围，其输出为主值。反正切函数的定义域为全体实数 $\mathbb{R}$，即可以输入任意实数并获得有效角度。

区分反正切与余切函数很重要。记号 $\tan^{-1}(x)$ 可能被误解为 $(\tan(x))^{-1} = 1/\tan(x)$，即余切。但 $\arctan(x)$ 是反三角函数，而非乘法逆元。为避免混淆，本计算器使用 $\arctan(x)$ 记号，不过 $\tan^{-1}(x)$ 形式也常见。请记住：$\cot(x) = 1/\tan(x)$，而 $\arctan(x)$ 是正切值为 $x$ 的角度。

Arctan 图像与常用值

arctan 的图像是通过将受限的正切图像（从 $-\pi/2$ 到 $\pi/2$）沿直线 $y = x$ 反射得到。当 $x$ 趋近于 $-\infty$ 时，$\arctan(x)$ 趋近于 $-\pi/2$（$-90$度）；当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时，趋近于 $\pi/2$（$90$度）。下表列出了一些常用值：

$x$	$\arctan(x)$ (rad)	$\arctan(x)$ (deg)
$-\infty$	$-\pi/2$	$-90$
$-3$	$-1.2490$	$-71.565$
$-2$	$-1.1071$	$-63.435$
$-\sqrt{3}$	$-\pi/3$	$-60$
$-1$	$-\pi/4$	$-45$
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\pi/6$	$-30$
$0$	$0$	$0$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\pi/6$	$30$
$1$	$\pi/4$	$45$
$\sqrt{3}$	$\pi/3$	$60$
$2$	$1.1071$	$63.435$
$3$	$1.2490$	$71.565$
$\infty$	$\pi/2$	$90$

与三角函数的关系

从一条直角边为 $1$ 和 $x$ 的直角三角形出发，有以下关系：

• $\sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
• $\cos(\arctan(x)) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
• $\tan(\arctan(x)) = x$

其他有用的恒等式包括：

• $\arctan(x) + \arctan\!\left(\frac{1}{x}\right) = \dfrac{\pi}{2}$（当 $x > 0$），当 $x < 0$ 时为 $-\dfrac{\pi}{2}$。
• $\arctan(-x) = -\arctan(x)$（奇函数性质）。
• $\arcsin(x) = \arctan\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$，对于 $|x| < 1$。
• $\arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} - \operatorname{arccot}(x)$。

恒等式 $\arctan(x)+\arctan(1/x)$ 可在直角三角形中形象化：若两条直角边为 $1$ 和 $x$，则两个锐角分别为 $\arctan(x)$ 和 $\arctan(1/x)$，两者之和为 $\pi/2$（或 $90$ 度）。

Arctan 的积分与导数

反正切函数的导数为：

$$\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}.$$

不定积分（反导数）为：

$$\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln|1+x^2| + C,$$

其中 $C$ 是积分常数。

如何使用 Arctan 计算器

本反正切计算器操作简单。在输入框内输入任意实数（正数、负数或零）。计算器会立即返回该数的反正切结果，以弧度和度两种形式。例如，输入 1 得到 $\pi/4$ 弧度或 $45$ 度。你还可以反向使用：输入角度得到其正切值。此特性在解决直角三角形问题、处理三角方程或验证恒等式时非常有用。