特征多项式是线性代数中的一个基本概念，将方阵与其特征值联系起来。借助特征多项式计算器 （免费在线矩阵多项式求解器），您可以立即求出2×2、3×3和4×4矩阵的特征多项式，省去繁琐的手动展开。在本文中，我们将回顾定义，提供不同阶数的逐步公式，并讨论关键性质——同时展示计算器如何让这一过程变得毫不费力。
特征多项式的定义
对于 n × n n \times n n × n A A A λ \lambda λ
p ( λ ) = det ( A − λ I ) p(\lambda) = \det(A - \lambda I) p ( λ ) = det ( A − λ I ) 其中 I I I n n n det \det det p ( λ ) p(\lambda) p ( λ ) A A A 特征值多项式 。有些教材采用 p ( λ ) = det ( λ I − A ) p(\lambda) = \det(\lambda I - A) p ( λ ) = det ( λ I − A ) ( − 1 ) n det ( A − λ I ) (-1)^n \det(A - \lambda I) ( − 1 ) n det ( A − λ I ) n n n n n n
如何使用求解器求特征多项式
使用此计算器非常简单：
选择矩阵大小：2×2、3×3或4×4。
逐行将矩阵元素输入输入字段。
计算器立即显示多项式。
可选：通过更改"定义变体"设置在 A − λ I A - \lambda I A − λ I λ I − A \lambda I - A λ I − A
这样就无需记忆复杂公式，尤其是对于较大矩阵。
2×2矩阵的特征多项式
对于一般的 2 × 2 2 \times 2 2 × 2 ( a b c d ) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ( a c b d )
( a − λ ) ( d − λ ) − b c = λ 2 − ( a + d ) λ + ( a d − b c ) . (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc). ( a − λ ) ( d − λ ) − b c = λ 2 − ( a + d ) λ + ( a d − b c ) . 可以简洁地写作 λ 2 − tr ( A ) λ + det ( A ) \lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) λ 2 − tr ( A ) λ + det ( A ) tr ( A ) = a + d \operatorname{tr}(A) = a + d tr ( A ) = a + d det ( A ) = a d − b c \det(A) = ad - bc det ( A ) = a d − b c
示例： 取 A = ( 2 3 4 3 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} A = ( 2 4 3 3 ) tr ( A ) = 5 \operatorname{tr}(A) = 5 tr ( A ) = 5 det ( A ) = 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 4 = − 6 \det(A) = 2\cdot 3 - 3\cdot 4 = -6 det ( A ) = 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 4 = − 6 λ 2 − 5 λ − 6 \lambda^2 - 5\lambda - 6 λ 2 − 5 λ − 6 ( 2 − λ ) ( 3 − λ ) − 3 ⋅ 4 (2-\lambda)(3-\lambda) - 3\cdot 4 ( 2 − λ ) ( 3 − λ ) − 3 ⋅ 4
3×3矩阵的特征多项式
对于 3 × 3 3\times 3 3 × 3
A = ( 0 1 2 2 3 − 1 1 0 2 ) . A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & -1 \\
1 & 0 & 2
\end{pmatrix}. A = 0 2 1 1 3 0 2 − 1 2 . 计算 det ( A − λ I ) \det(A - \lambda I) det ( A − λ I )
det ( − λ 1 2 2 3 − λ − 1 1 0 2 − λ ) . \det\begin{pmatrix}
-\lambda & 1 & 2 \\
2 & 3-\lambda & -1 \\
1 & 0 & 2-\lambda
\end{pmatrix}. det − λ 2 1 1 3 − λ 0 2 − 1 2 − λ . 应用萨吕法则：
− λ ( 3 − λ ) ( 2 − λ ) + 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ ( − 1 ) − 1 ⋅ ( 3 − λ ) ⋅ 2 − ( − 1 ) ⋅ 0 ⋅ ( − λ ) − ( 2 − λ ) ⋅ 2 ⋅ 1 , -\lambda(3-\lambda)(2-\lambda) + 1\cdot0\cdot1 + 2\cdot2\cdot(-1) - 1\cdot(3-\lambda)\cdot2 - (-1)\cdot0\cdot(-\lambda) - (2-\lambda)\cdot2\cdot1, − λ ( 3 − λ ) ( 2 − λ ) + 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ ( − 1 ) − 1 ⋅ ( 3 − λ ) ⋅ 2 − ( − 1 ) ⋅ 0 ⋅ ( − λ ) − ( 2 − λ ) ⋅ 2 ⋅ 1 , 化简得到：
− λ 3 + 5 λ 2 − 2 λ − 14. -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 2\lambda - 14. − λ 3 + 5 λ 2 − 2 λ − 14. 通常，对于元素为 a i j a_{ij} a ij
− λ 3 + ( a 11 + a 22 + a 33 ) λ 2 − ( sum of all principal 2 × 2 minors ) λ + det ( A ) . -\lambda^3 + (a_{11}+a_{22}+a_{33})\lambda^2 - \bigl( \text{sum of all principal } 2\times 2 \text{ minors} \bigr)\lambda + \det(A). − λ 3 + ( a 11 + a 22 + a 33 ) λ 2 − ( sum of all principal 2 × 2 minors ) λ + det ( A ) . λ 2 \lambda^2 λ 2
n × n n \times n n × n 对于 n × n n \times n n × n
p ( λ ) = ( − 1 ) n λ n + ( − 1 ) n − 1 S 1 λ n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) k S n − k λ k + ⋯ + S n , p(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} S_1 \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^k S_{n-k} \lambda^k + \cdots + S_n, p ( λ ) = ( − 1 ) n λ n + ( − 1 ) n − 1 S 1 λ n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) k S n − k λ k + ⋯ + S n , 其中 S k S_k S k A A A k × k k\times k k × k S 1 = tr ( A ) S_1 = \operatorname{tr}(A) S 1 = tr ( A ) S n = det ( A ) S_n = \det(A) S n = det ( A )
特征多项式的重要性质
可逆性： 矩阵可逆当且仅当其特征多项式的常数项（即 S n S_n S n det ( A ) ≠ 0 \det(A) \neq 0 det ( A ) = 0 代数重数： 特征值作为 p ( λ ) p(\lambda) p ( λ ) 转置： A A A A T A^\mathsf{T} A T 相似性： 相似矩阵具有相同的特征多项式，但反之不成立。例如，矩阵 ( 2 1 0 2 ) \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ( 2 0 1 2 ) ( 2 0 0 2 ) \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ( 2 0 0 2 ) ( λ − 2 ) 2 (\lambda-2)^2 ( λ − 2 ) 2 凯莱-哈密顿定理： 每个方阵都满足自身的特征方程。也就是说，如果在 p ( λ ) p(\lambda) p ( λ ) A A A λ \lambda λ c I cI c I
凯莱-哈密顿定理说明： 对于之前的 2×2 矩阵 A = ( 2 3 4 3 ) A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 3\end{pmatrix} A = ( 2 4 3 3 ) λ 2 − 5 λ − 6 \lambda^2 - 5\lambda - 6 λ 2 − 5 λ − 6
A 2 = ( 16 15 20 21 ) , 5 A = ( 10 15 20 15 ) , 6 I = ( 6 0 0 6 ) . A^2 = \begin{pmatrix}16 & 15 \\ 20 & 21\end{pmatrix},\quad
5A = \begin{pmatrix}10 & 15 \\ 20 & 15\end{pmatrix},\quad
6I = \begin{pmatrix}6 & 0 \\ 0 & 6\end{pmatrix}. A 2 = ( 16 20 15 21 ) , 5 A = ( 10 20 15 15 ) , 6 I = ( 6 0 0 6 ) . 因此，
A 2 − 5 A − 6 I = ( 16 − 10 − 6 15 − 15 − 0 20 − 20 − 0 21 − 15 − 6 ) = ( 0 0 0 0 ) , A^2 - 5A - 6I = \begin{pmatrix}16-10-6 & 15-15-0 \\ 20-20-0 & 21-15-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, A 2 − 5 A − 6 I = ( 16 − 10 − 6 20 − 20 − 0 15 − 15 − 0 21 − 15 − 6 ) = ( 0 0 0 0 ) , 验证了该定理。