免费弦长计算器

弦长详解 – 公式、示例与在线计算器

这款 免费弦长计算器 提供了一种快速、可靠的计算 圆弦长 的方法，您可选择输入 弓高（弦高）、弦心距或圆心角。除弦长外，该工具还会显示其他基本圆度量：直径、周长、总面积、弧长、扇形面积、弓形面积以及弓高本身。无论您是完成几何作业的学生、设计曲面结构的工程师，还是制作拱门的DIY爱好者，这款在线 弓高计算器 都能简化计算过程。

基本定义

在圆中，弦是端点位于圆周上的直线段。与直径不同，它不一定过圆心。弦到圆心的垂直距离称为弦心距（$a$）。弦到其上方圆弧的垂直距离称为弓高或弦高（$h$）。弦所对的圆心角（$\alpha$）是过圆心连接弦两端点的两条半径所组成的角。对于形成劣弧（圆心角小于180°）的弦，半径可表示为$r = a + h$。这个关系有助于在弦心距与弓高之间进行换算。

弦长的三个主要公式

所有公式都需要半径（$r$）。已知半径后，使用相应表达式：

输入参数	弦长公式
弓高 $h$（弦高）	$c = 2\sqrt{2rh - h^{2}}$
弦心距 $a$	$c = 2\sqrt{r^{2} - a^{2}}$
圆心角 $\alpha$（弧度）	$c = 2r \sin\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$

如果圆心角以度为单位，乘以 $\pi/180$ 转换为弧度。

根据其他量推导半径

当半径并非直接已知时，可通过以下圆度量计算：

已知参数	半径表达式
面积 $A$	$r = \sqrt{A / \pi}$
周长 $C$	$r = C / (2\pi)$
直径 $d$	$r = d / 2$
弧长 $L$ 与圆心角 $\alpha$（弧度）	$r = L / \alpha$
扇形面积 $A_s$ 与圆心角 $\alpha$	$r = \sqrt{2A_s / \alpha}$
弓形面积 $A_m$ 与圆心角 $\alpha$	$r = \sqrt{2A_m / (\alpha - \sin\alpha)}$

得到半径后，您可将其代入上述任一弦长公式。

常见角度的弦长因子速查

下表中乘数（等于 $2\sin(\alpha/2)$）乘以半径即得弦长。

圆心角（°）	弦长因子
30°	0.5176
45°	0.7654
60°	1.0000
90°	1.4142
120°	1.7321
180°	2.0000

示例： 半径为10、圆心角90°的圆，产生的弦长为 $10 \times 1.4142 = 14.14$ 单位。

计算示例

示例1 – 使用圆心角：
半径 = 8 m，圆心角 = 45°。将45°转换为弧度（$\pi/4$）并计算：

$$c = 2 \times 8 \times \sin(22.5^\circ) \approx 16 \times 0.3827 = 6.12\ \text{m}.$$

示例2 – 使用弓高：
半径 = 10 cm，弓高 = 3 cm。

$$c = 2\sqrt{2 \times 10 \times 3 - 3^{2}} = 2\sqrt{60 - 9} = 2\sqrt{51} \approx 14.28\ \text{cm}.$$

示例3 – 使用弦心距：
半径 = 6 in，弦心距 = 4 in。

$$c = 2\sqrt{6^{2} - 4^{2}} = 2\sqrt{36 - 16} = 2\sqrt{20} \approx 8.94\ \text{in}.$$

这些示例展示了计算器如何处理各种类型的输入并给出精确弦长。

如何使用免费在线弦长计算器

1. 输入半径 直接在指定字段中输入。若未知半径，勾选“其他参数”框并提供以下之一：面积、周长、直径、弧长、扇形面积或弓形面积。工具将自动计算半径。
2. 提供三个触发参数之一：弦高（弓高）、弦心距或圆心角。
3. 获取结果 – 所需字段填写完成后立即显示弦长。

自动计算的附加参数

已知半径和一个触发参数后，计算器还会显示：

• 直径（$2r$）
• 周长（$2\pi r$）
• 总面积（$\pi r^{2}$）
• 弧长（$r\alpha$）
• 扇形面积（$\tfrac{1}{2}r^{2}\alpha$）
• 弓形面积（$\tfrac{1}{2}r^{2}(\alpha - \sin\alpha)$）
• 弓高 – 即弦高本身。

特殊情况：直径作为弦

当弦通过圆心时，它成为直径。此时：

• 弦长达到最大值：$2r$。
• 弓高等于$r$。
• 弦心距为零。
• 圆心角为$180°$（$\pi$ rad）。

该极限情况可为手工计算和计算器输出提供快速合理性检查。

为什么叫“弓高”？

弓高 一词源自拉丁语，意为“箭”。想象一把弓：紧绷的弓弦是弦，弓的弯曲部分是弧，箭垂直于中点连接弓弦与弓。这段垂直距离正是弦高。这一历史类比使概念易于理解。

选择适当的公式

完全取决于现有数据：

• 弓高公式 – 可测量弧在弦上方的高度时使用（例如拱形施工）。
• 弦心距公式 – 可获得圆心到弦的垂直距离时使用（常见于对称设计）。
• 圆心角公式 – 蓝图中给出角度或弦端点位于已知角度位置时使用。

三种方法等价，本 圆弦长与弓高计算器 同样容易支持它们全部。

无论您需要数学证明、建筑规划还是创意项目的精确值，这款 免费弦长计算器 都能即时提供准确结果，省去耗时的手工代数计算。