免费蒙提霍尔问题模拟器

蒙提霍尔问题：一个概率悖论

蒙提霍尔悖论是一个经典的概率论谜题，常常难倒经验丰富的统计学家。它的核心展示了条件概率如何在简单的游戏节目场景中彻底改变概率。这个蒙提霍尔问题模拟器让你亲自探索这一悖论——无论是玩一局还是运行数千次模拟——从而看到换门始终带来三分之二赢得汽车的机会，而直觉上认为的50/50概率是错误的。

游戏规则

设置很简单。三扇门被呈现：一扇后面是汽车（想要的奖品），另外两扇后面是山羊。参赛者选择一扇门，但先不打开。主持人知道汽车在哪里，然后打开剩下两扇门中的一扇，露出山羊。主持人总是打开有山羊的门——从不打开有汽车的门。然后参赛者有机会选择坚持原来的门或换到另一扇未开的门。关键问题是：哪个行动赢得汽车的概率更高？

为什么50/50是谬误

直觉反应是主持人移走一扇山羊门后，只剩下两扇门，所以每扇门藏有汽车的概率是50%。然而，这种推理忽略了主持人的行为提供了额外信息。当参赛者最初选择一扇门时，汽车在那扇门后的概率是 $\frac{1}{3}$，而在另外两扇门后的概率是 $\frac{2}{3}$。主持人通过从没被选的组中故意打开一扇山羊门，实际上将那个 $\frac{2}{3}$ 的概率合并到剩下的唯一未开门上。因此，换门获胜的概率是 $\frac{2}{3}$，而不换获胜的概率是 $\frac{1}{3}$。这个令人惊讶的结果就是蒙提霍尔悖论的本质。

历史简介：玛丽莲·沃斯·莎凡特的正确答案

1990年，玛丽莲·沃斯·莎凡特——当时被吉尼斯世界纪录记载为IQ最高的人——在《Parade》杂志的“Ask Marilyn”专栏中发表了正确答案。她建议换门能使获胜概率翻倍。她的解释引发了大量来信，许多来自学者，他们坚持认为概率是50/50。随着时间的推移，模拟和严谨的证明证实了沃斯·莎凡特是对的，蒙提霍尔问题成为著名的例子，说明天真的直觉如何误导即使受过训练的人。

条件概率逐步推导

为了严谨推导概率，我们使用条件概率。假设参赛者最初选择1号门。我们想要计算在主持人打开2号门的条件下汽车在1号门后的概率，即 $P(\text{car}_{1} \mid \text{host}_{2})$。条件概率公式为：

$$P(\text{car}_{1} \mid \text{host}_{2}) = \frac{P(\text{car}_{1} \text{ and } \text{host}_{2})}{P(\text{host}_{2})}.$$

分子是汽车在1号门后且主持人打开2号门的概率。由于汽车等可能地在任何一扇门后，$P(\text{car}_{1}) = \frac{1}{3}$。如果汽车在1号门后，主持人可以等可能地打开2号或3号门，所以 $P(\text{host}_{2} \mid \text{car}_{1}) = \frac{1}{2}$。因此：

$$P(\text{car}_{1} \text{ and } \text{host}_{2}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}.$$

为了求分母 $P(\text{host}_{2})$，我们考虑所有三种可能的汽车位置：

• 如果汽车在1号门后：贡献是 $\frac{1}{6}$（如上）。
• 如果汽车在2号门后：主持人不能打开2号门（因为会露出汽车），所以概率为0。
• 如果汽车在3号门后：主持人只有一种选择——2号门——所以 $P(\text{host}_{2} \mid \text{car}_{3}) = 1$，且 $P(\text{car}_{3}) = \frac{1}{3}$，贡献 $\frac{1}{3}$。

因此：

$$P(\text{host}_{2}) = \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}.$$

代入条件概率公式：

$$P(\text{car}_{1} \mid \text{host}_{2}) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}.$$

不换门（汽车在1号门后）获胜的概率是 $\frac{1}{3}$。换门得到汽车的概率是补集：$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。同样的计算适用于任何初始选择和主持人打开的任何门。

贝叶斯定理确认相同结果

另一种数学上优雅的得出相同结论的方法是贝叶斯定理。该定理用看到主持人打开2号门在每种可能汽车位置下的似然来更新先验概率 $P(\text{car}_{1}) = \frac{1}{3}$：

$$P(\text{car}_{1} \mid \text{host}_{2}) = \frac{P(\text{host}_{2} \mid \text{car}_{1}) \cdot P(\text{car}_{1})}{P(\text{host}_{2})}$$

所有值与上面相同，再次得到 $\frac{1}{3}$。因为先验仅通过主持人行为提供的信息更新，汽车在另一扇未开门后的后验概率变为 $\frac{2}{3}$。因此，两种方法得出相同的策略建议：始终换门。

模拟蒙提霍尔问题

随附的蒙提霍尔问题模拟器对这些数字进行了测试。你可以玩一局交互式游戏，或者运行大量模拟回合。

• 单局模式： 选择一扇门，观看主持人揭示山羊，然后决定是不换还是换门。结果立即显示，以具体方式说明结果。
• 模拟模式： 指定迭代次数（例如，1,000或10,000）并选择策略——始终不换或始终换门。模拟器计算该策略的获胜比例，随着试验次数增加，不换应接近 $\frac{1}{3}$，换门应接近 $\frac{2}{3}$。

这个工具也用作条件概率计算器，让你看到主持人揭示后概率如何变化。无论你测试多少次，结果始终确认这一悖论：换门是理性选择。

结论

蒙提霍尔问题仍然是条件概率实际应用中最具启发性的例子之一。通过理解和模拟游戏，你可以训练你的直觉，认识到主持人的行为改变了概率格局。无论你采用直接的条件概率、贝叶斯定理还是经验模拟，答案始终一样——换门可使赢得汽车的机会翻倍。