免费帕龙多悖论计算器

帕龙多悖论的核心思想

帕龙多悖论计算器 是一个免费的在线工具，展示了博弈论中一个令人惊讶的结果：两个在多次游戏中必定输钱的游戏，可以通过特定的组合方式产生净收益。这个反直觉的现象是由西班牙物理学家胡安·帕龙多在研究布朗棘轮（一个统计物理中的思想实验）时发现的。

使用此计算器，你可以运行基于偏差硬币抛掷的蒙特卡洛模拟。你可以自由选择不同的序列（或随机顺序），并即时观察资本如何变化。该工具还提供了马尔可夫链分析，从数学上解释为什么这个悖论并非违反概率论，而是两种游戏耦合方式的结果。

一个重要警告：这种效果不会发生在赌场游戏中。 它需要游戏之间存在特定的依赖关系——在抛硬币模型中，这种依赖是通过玩家当前资本实现的。

两个失败的游戏

假设你有两个游戏：A 和 B。每轮你下注 $1；赢则资本增加$1，输则减少 $1。

• 游戏 A 使用一个近乎公平的硬币。获胜概率为 $P(A)=0.495$，略低于 0.5。长期期望值为负（$-0.01$$ 每局），因此如果你只玩 A，必定输钱。

• 游戏 B 更复杂，取决于你当前的资本。

  • 如果资本恰好是 3 的倍数，你必须玩变体 B1，其获胜概率非常低 $P(B_1)=0.095$。
  • 如果资本不是 3 的倍数，你玩变体 B2，其获胜概率很高 $P(B_2)=0.745$。

  尽管 B2 非常有利，但单独游戏 B 的整体期望值仍然为负，因为相当一部分时间你被迫陷入不利的 B1。因此，A 和 B 各自单独玩都是失败的游戏。

通过交替获胜

现在考虑在 A 和 B 之间切换而不是只玩一种的情况。计算器模拟了数千次独立试验，每次试验包含 100 轮。结果令人震惊：

• 仅游戏 A： 资本随回合数稳步下降。
• 仅游戏 B： 出现同样下降趋势——确定损失。
• 序列 AABB（两轮 A，然后两轮 B，重复）： 资本随回合进展增加。
• 随机交替（每轮用公平硬币决定玩 A 还是 B）： 资本平均也增加。

无论是确定性的 AABB 模式还是随机混合，都将两个失败的游戏变成了获胜策略。原因是交替改变了玩家资本落入模 3 的每个剩余类的频率，使得有利变体 B2 出现的次数远高于纯 B 玩法。

使用马尔可夫链进行更深入的研究

为了理解混合为何改变结果，将系统建模为马尔可夫链。状态是当前资本除以 3 的余数——即 0、1 或 2。转移概率完全由游戏规则确定。

仅游戏 B

当只玩游戏 B 时，单步转移矩阵（列对应当前状态，行对应下一状态）为：

$$P_B = \begin{bmatrix} 0 & 0.255 & 0.745 \\ 0.095 & 0 & 0.255 \\ 0.905 & 0.745 & 0 \end{bmatrix}$$

从状态 0（资本为 3 的倍数）玩家玩 B1：获胜（概率 0.095）导致状态 1，失败（0.905）导致状态 2。从状态 1 或 2 玩家玩 B2：获胜（0.745）移动到下一个更高状态（2 或 0），失败（0.255）移动到下一个更低状态。

平稳分布 $\pi = (\pi_0,\pi_1,\pi_2)^T$ 满足 $\pi = P_B\,\pi$。求解得

$$\pi_0 \approx 0.384,\qquad \pi_1 \approx 0.308,\qquad \pi_2 \approx 0.308.$$

因此，约 38.4% 的时间资本是 3 的倍数，迫使玩家处于不利的 B1。游戏 B 单轮获胜的总体概率为

$$P(\text{win}\mid B) = 0.384\times0.095 + 0.308\times0.745 + 0.308\times0.745 \approx 0.4955,$$

低于 0.5，确认仅游戏 B 是失败的游戏。（Perron–Frobenius 定理保证这种随机矩阵长期收敛到唯一稳态。）

混合策略（随机交替）

现在考虑一种策略：每轮用公平硬币以 0.5 的概率决定玩游戏 A 还是游戏 B。由此产生的转移概率结合了两个游戏：

• 从状态 0：获胜概率 = $0.5\times0.495 + 0.5\times0.095 = 0.295$；获胜则转移到状态 1，失败（0.705）转移到状态 2。
• 从状态 1：获胜概率 = $0.5\times0.495 + 0.5\times0.745 = 0.62$；获胜 → 状态 2，失败 → 状态 0。
• 从状态 2：获胜概率 = 0.62；获胜 → 状态 0，失败 → 状态 1。

因此转移矩阵为：

$$P_{\text{mix}} = \begin{bmatrix} 0 & 0.38 & 0.62 \\ 0.295 & 0 & 0.38 \\ 0.705 & 0.62 & 0 \end{bmatrix}.$$

平稳分布近似为

$$\pi_0 \approx 0.345,\quad \pi_1 \approx 0.254,\quad \pi_2 \approx 0.401.$$

于是单轮总体获胜概率为

$$0.345\times0.295 + 0.254\times0.62 + 0.401\times0.62 \approx 0.508 > 0.5.$$

因此，即使是两个失败游戏的随机混合，长期也会产生正的期望收益——这就是帕龙多悖论的核心。

推广该悖论

同样的现象可以用其他数值再现。如果我们引入一个小参数 $\varepsilon$，并设定

$$P(A) = 0.5 - \varepsilon,\qquad P(B_1) = 0.1 - \varepsilon,\qquad P(B_2) = 0.75 - \varepsilon,$$

那么对于足够小的 $\varepsilon$，该悖论仍然存在。这种普遍性表明该效应是稳健的，并非特定数字选择的人为结果。

帕龙多悖论的影响超出了抛硬币的范畴；类似的耦合机制出现在进化生物学、金融市场建模和纳米尺度电机研究中。然而，它不适用于传统的赌场游戏，因为这些游戏与玩家的资本历史无关。