免费二次回归计算器

本工具功能

这个二次回归计算器——也称为最佳拟合抛物线计算器、二阶多项式回归工具或二次最小二乘回归引擎——找到最适合您数据集的抛物线。无论您是处理作业问题、研究项目还是数据分析任务，这款免费的在线二次曲线拟合计算器都会提供二次模型的系数，以及曲线代表这些点的程度的清晰度量。

理解二次回归模型

当自变量 $x$ 与因变量 $y$ 之间的关系遵循直线无法描述的曲线路径时，就会使用二次回归（有时称为抛物线回归或二阶多项式回归）。目标是确定形式为

$$y = a + b\,x + c\,x^{2}$$

的方程，使其最小化残差平方和（最小二乘原理）。如果系数 $c$ 为零，则模型简化为简单线性回归。

拟合优度通过确定系数 $R^{2}$ 来评估。它的取值范围在 0 到 1 之间，值越接近 1 表示抛物线解释了 $y$ 总变差的高比例。

获取系数

$a$、$b$ 和 $c$ 的最小二乘估计可通过求解一组三个正规方程得到：

\begin{aligned} n\,a + b\sum x_i + c\sum x_i^{2} &= \sum y_i \$$4pt] a\sum x_i + b\sum x_i^{2} + c\sum x_i^{3} &= \sum x_i y_i \$$4pt] a\sum x_i^{2} + b\sum x_i^{3} + c\sum x_i^{4} &= \sum x_i^{2} y_i \end{aligned}

另一种等效方法是使用基于均值偏差的显式公式。定义

$$\begin{aligned} S_{xx} &= \sum (x_i - \bar{x})^{2}, \\ S_{xy} &= \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}), \\ S_{xx^{2}} &= \sum (x_i - \bar{x})(x_i^{2} - \overline{x^{2}}), \\ S_{x^{2}x^{2}} &= \sum (x_i^{2} - \overline{x^{2}})^{2}, \\ S_{x^{2}y} &= \sum (x_i^{2} - \overline{x^{2}})(y_i - \bar{y}), \end{aligned}$$

其中 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 是样本均值，$\overline{x^{2}} = \frac{1}{n}\sum x_i^{2}$。则系数变为

$$c = \frac{S_{x^{2}y}S_{xx} - S_{xy}S_{xx^{2}}}{S_{xx}S_{x^{2}x^{2}} - (S_{xx^{2}})^{2}}, \qquad b = \frac{S_{xy} - c\,S_{xx^{2}}}{S_{xx}}, \qquad a = \bar{y} - b\,\bar{x} - c\,\overline{x^{2}}.$$

这些公式构成了二次最小二乘回归的核心，并与求解正规方程矩阵形式产生相同的结果。

如何使用此最佳拟合抛物线计算器

在输入字段中输入您的数据点（最多30对）；新行会随着您的输入自动出现。至少需要三个不同的点才能确定一条唯一的抛物线（正好三个点时拟合将是完美的）。计算器会立即生成一个散点图，并叠加拟合曲线，同时显示二次回归方程和 $R^{2}$ 值。您可以调整输出中的有效数字位数来增加或减少精度。

逐步示例：手动拟合抛物线

假设我们有点 $(4,5),\; (3,6),\; (2,4),\; (1,8)$。

1. 基本统计

$$n = 4,\quad \bar{x} = 2.5,\quad \bar{y} = 5.75,\quad \overline{x^{2}} = 7.5$$

2. 基于偏差的和

项	$S_{xx}$	$S_{xy}$	$S_{xx^{2}}$	$S_{x^{2}x^{2}}$	$S_{x^{2}y}$
(1,8)	2.25	-1.125	12.75	72.25	-6.375
(2,4)	0.25	0.125	0.75	2.25	0.375
(3,6)	0.25	0.875	1.75	12.25	6.125
(4,5)	2.25	-3.375	9.75	42.25	-14.625
总计	5	-3.5	25	129	-14.5

3. 系数计算

$$c = \frac{(-14.5)(5) - (-3.5)(25)}{(5)(129) - (25)^{2}} = \frac{-72.5 + 87.5}{645 - 625} = \frac{15}{20} = 0.75$$ $$b = \frac{-3.5 - 0.75 \cdot 25}{5} = \frac{-3.5 - 18.75}{5} = \frac{-22.25}{5} = -4.45$$ $$a = 5.75 - (-4.45)(2.5) - 0.75(7.5) = 5.75 + 11.125 - 5.625 = 11.25$$

4. 回归方程

$$y = 11.25 - 4.45\,x + 0.75\,x^{2}$$

这个二次函数对给定的数据产生了最佳（最小二乘）拟合。通过将计算出的系数代回正规方程，您可以验证它们满足方程组并产生高 $R^{2}$ 值。