免费向量计算器

全面的向量运算

向量计算器可简化向量加法、减法、点积、叉积、投影、归一化、模长计算以及两点间向量求解等任务。支持二维（平面）和三维向量，输入可采用笛卡尔坐标或（对平面向量）模长和方向。

笛卡尔坐标系中的向量表示

在平面中，向量由两个数表示：$\mathbf{a} = [a_x, a_y]$，其中 $a_x$ 是水平位移，$a_y$ 是垂直位移。在空间中，增加第三个分量：$\mathbf{a} = [a_x, a_y, a_z]$。

模长与方向

除了分量，向量还可以由其模长 $m$（也称范数）和相对于 x 轴正方向的方向角 $\theta$ 来指定。两种表示之间的转换关系如下：

$$a_x = m\cos\theta,\quad a_y = m\sin\theta.$$

利用勾股定理可从分量恢复模长：

$$m = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \quad \text{or} \quad m = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \ \text{in 3D}.$$

向量加法与减法

向量加法逐分量进行：

$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = [a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z].$$

例如，$\mathbf{a}=[2,3,4]$ 和 $\mathbf{b}=[1,-2,3]$：

$$\mathbf{a}+\mathbf{b} = [3,1,7].$$

减法遵循同样的模式：

$$\mathbf{a} - \mathbf{b} = [a_x - b_x,\ a_y - b_y,\ a_z - b_z],$$

对于相同的向量，结果为 $[1,5,1]$。在图形上，加法遵循平行四边形法则；减法等价于加上 $\mathbf{b}$ 的相反向量。

两点间的向量

要获取从点 $P$ 到点 $Q$ 的向量，用 $Q$ 的坐标减去 $P$ 的坐标：$\overrightarrow{PQ} = [Q_x-P_x,\ Q_y-P_y,\ Q_z-P_z]$。该运算本质上是向量减法。

点积（标量积）

两个向量的点积返回一个标量，定义为：

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\,\cos\theta,$$

其中 $\theta$ 是它们之间的夹角。在笛卡尔坐标中：

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.$$

使用 $\mathbf{a}=[2,3,4]$ 和 $\mathbf{b}=[1,-2,3]$，

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2\cdot1 + 3\cdot(-2) + 4\cdot3 = 8.$$

点积满足交换律，可用于求向量夹角：

$$\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}.$$

此外，$\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$。

叉积（向量积）

叉积生成一个同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的向量。其模长等于它们所张成的平行四边形面积：

$$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\,\sin\theta.$$

方向由右手定则确定。在笛卡尔坐标中：

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \bigl[ a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x \bigr].$$

对于 $\mathbf{a}=[2,3,4]$ 和 $\mathbf{b}=[1,-2,3]$：

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = [3\cdot3 - 4\cdot(-2),\ 4\cdot1 - 2\cdot3,\ 2\cdot(-2) - 3\cdot1] = [17, -2, -7].$$

叉积满足反交换律：$\mathbf{b}\times\mathbf{a} = -\mathbf{a}\times\mathbf{b}$。

向量投影

$\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{a}$ 上的投影是 $\mathbf{b}$ 沿 $\mathbf{a}$ 方向的分量。计算公式为：

$$\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|^{2}}\,\mathbf{a}.$$

使用示例向量：

$$\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \frac{8}{29}\,[2,3,4] = \left[\frac{16}{29},\frac{24}{29},\frac{32}{29}\right].$$

从几何上看，这就是 $\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{a}$ 上的“影子”。

向量归一化与模长

归一化向量是指将其缩放至长度为 1，同时保持方向不变。首先计算范数（模长）：

$$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.$$

然后将每个分量除以范数：

$$\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = \left[\frac{a_x}{|\mathbf{a}|},\frac{a_y}{|\mathbf{a}|},\frac{a_z}{|\mathbf{a}|}\right].$$

对于 $\mathbf{a}=[2,3,4]$，$|\mathbf{a}|=\sqrt{29}$，因此归一化后的向量为 $\left[\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{3}{\sqrt{29}},\frac{4}{\sqrt{29}}\right]$。

使用计算器

首先选择您的工作维度是 2D 还是 3D。然后选择所需操作：加法、减法、点积、叉积、投影、归一化、模长或两点间向量。以笛卡尔分量或（2D 下）模长和方向输入数据。计算器将立即计算结果，并在适用时展示中间公式。

这款向量运算计算器将多种工具——向量加法计算器、点积计算器、叉积计算器、归一化计算器、投影计算器和模长计算器——整合到一个便捷界面中，使其成为学习和解决问题的多功能资源。