免费韦布尔分布计算器

韦布尔分布是一种灵活的连续概率分布，可以对从指数衰减到近似对称的各种数据形状进行建模。此免费在线韦布尔分布计算器让您计算概率、生成随机样本、评估pdf和cdf、确定分位数并获取关键统计量——全部集中在一个地方。下面我们将介绍该分布的参数、核心公式以及如何使用该工具。

参数

两个正参数定义该分布：

• 形状 $k$ – 确定曲线的形状。当 $k=1$ 时，分布退化为指数分布；当 $k=2$ 时，成为瑞利分布；当 $k \approx 3.6$ 时，pdf几乎对称。中间值给出各种右偏形状。
• 尺度 $\lambda$ – 延展或压缩分布沿x轴。较大的 $\lambda$ 使分布扩散，较小的 $\lambda$ 使其集中在零附近。

由于 $k$ 控制风险率（当 $k<1$ 时递减，$k=1$ 时恒定，$k>1$ 时递增），韦布尔分布尤其流行于可靠性工程、生存分析、水文学和电气系统建模。

概率密度函数 (PDF)

对于 $x \ge 0$，

$$f(x) = \dfrac{k}{\lambda} \left( \dfrac{x}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}$$

累积分布函数 (CDF)

CDF简化为闭合形式：

$$F(x) = 1 - e^{-(x/\lambda)^k}, \quad x \ge 0$$

因此 $P(X \le x) = F(x)$ 且 $P(X > x) = 1 - F(x)$。

分位数函数与抽样

对于 $0 \le p < 1$，分位数函数（逆CDF）为

$$Q(p) = \lambda \bigl[ -\ln(1-p) \bigr]^{1/k}$$

要生成随机的韦布尔值，抽取 $U \sim \text{Uniform}(0,1)$ 并设

$$X = \lambda (-\ln U)^{1/k}$$

该计算器的样本生成模式使用此方法。

常用统计量

设 $\Gamma$ 表示伽马函数。主要统计量如下：

度量	公式
均值	$\mu = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)$
中位数	$m = \lambda (\ln 2)^{1/k}$
众数 (当 $k>1$)	$\displaystyle \lambda \left( \frac{k-1}{k} \right)^{1/k}$ (若 $k \le 1$ 则众数为 0)
方差	$\sigma^2 = \lambda^2 \left[ \Gamma\!\left(1+\frac{2}{k}\right) - \bigl(\Gamma\!\left(1+\frac{1}{k}\right)\bigr)^2 \right]$
标准差	$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
偏度	$\displaystyle \frac{\Gamma\!\left(1+\frac{3}{k}\right) - 3\,\Gamma\!\left(1+\frac{1}{k}\right)\Gamma\!\left(1+\frac{2}{k}\right) + 2\!\left[\Gamma\!\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]^3}{\bigl[ \Gamma\!\left(1+\frac{2}{k}\right) - \bigl(\Gamma\!\left(1+\frac{1}{k}\right)\bigr)^2 \bigr]^{3/2}}$

偏度仅取决于 $k$；例如，当 $k=2$ 时约为0.631，当 $k \approx 3.6$ 时接近零。

使用计算器

该工具提供六种操作模式：

• 概率 – 获取 $P(X \le x)$ 或 $P(X > x)$。
• 样本 – 生成任意数量的随机抽取。
• CDF – 在给定的 $x$ 处评估 $F(x)$。
• PDF – 在给定的 $x$ 处评估 $f(x)$。
• 分位数 – 找到对应指定概率的值。
• 分布统计量 – 查看均值、中位数、众数、方差和偏度。

要获得结果，选择模式，输入韦布尔参数 $\lambda$ 和 $k$，并填写任何额外的必填字段（如样本量或参数 $x$）。计算器随后立即返回答案。通过此免费在线韦布尔分布计算器，您可以探索分布的行为，无需手动计算。