免费质量转动惯量计算器

质量转动惯量计算器 — 您的通用转动惯量工具

此处描述的质量转动惯量计算器作为一个在线转动惯量计算器，快速确定多种均质物体的角质量（转动惯量）。通过选择形状并提供其尺寸和质量，您可以获得单位为 $\text{kg·m}^{2}$ 或 $\text{lb·ft·s}^{2}$ 的转动惯量。这个物理惯性计算器涵盖23种标准几何形状，适用于工程设计、家庭作业和快速设计检查。

什么是转动惯量？

转动惯量——也称为质量转动惯量或角质量——衡量改变刚体绕给定轴的旋转速度的难易程度。它在旋转动力学中扮演的角色与普通质量在直线运动中扮演的角色相同：更大的转动惯量需要更大的扭矩才能实现相同的角加速度。轴的位置和方向至关重要，因为同一个物体在不同的轴下会产生截然不同的转动惯量值。

如何计算转动惯量

对于质点，关系为：

$$I = m r^{2},$$

其中 $m$ 是质量，$r$ 是到旋转轴的垂直距离。对于离散质点系，总转动惯量是求和：

$$I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}.$$

当质量连续分布时，公式变为体积积分：

$$I = \int_{V} \rho \, r_{\perp}^{2} \, dV.$$

无需手动计算积分，您可以在本计算器中选择预定义的形状，让其应用相应的解析公式。

质量转动惯量与面积二次矩的区别

这两个量经常被混淆。质量转动惯量（单位 $\text{kg·m}^{2}$）与旋转运动相关，而面积二次矩（单位 $\text{m}^{4}$）则用于梁弯曲和结构分析。它们代表不同的物理概念；本工具专门处理质量转动惯量。

23种均质物体的转动惯量公式

以下列表展示了计算器中可用的图形。所有公式均假设密度均匀，且除非另有说明，旋转轴通过质心。

1. 实心球体 – 质心轴：$I = \dfrac{2}{5} m r^{2}$.
2. 薄圆环 – 质心轴：垂直于平面 → $I = m r^{2}$; 面内（x或y） → $I = \dfrac{1}{2} m r^{2}$.
3. 实心长方体 – 质心轴平行于长度（$l$）：$I = \dfrac{1}{12} m (w^{2} + h^{2})$; 平行于宽度：$I = \dfrac{1}{12} m (l^{2} + h^{2})$; 平行于高度：$I = \dfrac{1}{12} m (l^{2} + w^{2})$; 沿最长对角线：$I = \dfrac{1}{12} m (l^{2} + w^{2} + h^{2})$.
4. 实心圆柱体 – 中心轴：$I = \dfrac{1}{2} m r^{2}$; 穿过中心的横轴：$I = \dfrac{1}{12} m (3 r^{2} + h^{2})$.
5. 厚壁圆筒 – 中心轴：$I = \dfrac{1}{2} m (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})$.
6. 薄壁圆筒壳 – 中心轴：$I = m r^{2}$.
7. 薄圆盘 – 中心轴：$I = \dfrac{1}{2} m r^{2}$; 面内轴：$I = \dfrac{1}{4} m r^{2}$.
8. 正十二面体 (实心 & 空心) – 轴通过中心和一个顶点（公式在工具中提供）。
9. 椭球体 – 关于半轴 $a$：$I_{a} = \dfrac{m}{5}(b^{2}+c^{2})$; $b$ 和 $c$ 类似。
10. 正二十面体 (实心 & 空心) – 轴通过中心和一个顶点。
11. 等腰三角形 – 轴通过顶点垂直于平面；表达式取决于顶角和边长。
12. 正八面体 (实心 & 空心) – 轴通过中心和一个顶点。
13. 质点 – 距离 $r$：$I = m r^{2}$.
14. 矩形薄板 – 轴通过中心垂直于平面：$I = \dfrac{1}{12} m (l^{2}+w^{2})$.
15. 正多边形 （$n$ 边，外接圆半径 $R$） – 轴通过中心垂直于平面：$I = \dfrac{1}{2} m R^{2} \left[1 - \dfrac{2}{3} \sin^{2}\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\right]$.
16. 空心直圆锥 – 通过中心的轴（中心轴和横轴）。
17. 实心直圆锥 – 中心轴：$I = \dfrac{3}{10} m r^{2}$; 通过中心的横轴：$I = \dfrac{3}{20} m \left(r^{2} + \dfrac{h^{2}}{4}\right)$.
18. 细杆 – 轴通过中心垂直于杆：$I = \dfrac{1}{12} m L^{2}$; 轴通过一端：$I = \dfrac{1}{3} m L^{2}$.
19. 空心球 (薄壳) – 轴通过中心：$I = \dfrac{2}{3} m r^{2}$.
20. 球壳 (厚壳) – 内径 $r_{1}$，外径 $r_{2}$；公式见工具。
21. 正四面体 (实心 & 空心) – 轴通过中心和一个顶点。
22. 环面 – 轴垂直于主直径通过中心：$I = m\left(b^{2} + \dfrac{3}{4} a^{2}\right)$; 轴平行于主直径：$I = \dfrac{1}{2} m a^{2}$.
23. 双质点 – 轴通过质心，垂直于两者连线：$I = \mu r^{2}$, 其中 $\mu = \dfrac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$.

对于任何这些形状，只需输入要求的尺寸和质量；计算器将以您首选的单位返回转动惯量。