免费克莱姆法则计算器

用克莱姆法则解线性方程组

线性方程组在数学、工程和日常问题求解中频繁出现。这个在线方程组求解器应用了克莱姆法则——一种适用于2×2和3×3情形且完全基于算术（加减乘除）的方法。不涉及代入、消元或作图。无论你需要克莱姆法则 2x2 还是克莱姆法则 3x3 的解，该计算器都能通过矩阵行列式快速给出答案。

什么是方程组？

在代数中，方程将未知量与已知数联系起来。当存在多个未知数和多个它们之间的关系时，我们写出多个必须同时满足的方程。例如，如果你知道两次不同的购买导致不同的总价，你可以列出如下方程：

$$2x + 3y = 7 \quad\text{和}\quad x - 4y = -2.$$

这里 $x$ 和 $y$ 代表未知价格，解方程组就是找到使两个等式同时成立的 $(x,y)$ 对。最简单的情形是每个变量对应一个方程；当方程为线性时，克莱姆法则恰好处理这类情况。

用矩阵表示方程组

线性系统可以用矩阵紧凑地表示。变量的系数填入一个称为系数矩阵的矩阵。对于一个有三个方程和三个未知数的系统，系数矩阵 $W$ 有三行三列。将右侧常数加进去得到增广系数矩阵，通常用竖线分隔。

考虑一个旅行主题的例子，其中 $x$（自行车）、$y$（汽车）、$z$（飞机）代表未知数量：

\begin{cases} x + y + z = 26,\$$2pt] y - 2z = 6,\$$2pt] 2x - z = 12. \end{cases}

系数矩阵是

$$W = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix},$$

增广矩阵是

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 26\\ 0 & 1 & -2 & 6\\ 2 & 0 & -1 & 12 \end{array}\right).$$

克莱姆法则解释

克莱姆法则将方形线性方程组的解表示为行列式的比值。对于系统 $W\mathbf{x} = \mathbf{d}$（其中 $W$ 是系数矩阵，$\mathbf{d}$ 是常数列），变量 $x_i$ 的值为

$$x_i = \frac{\det(W_i)}{\det(W)},$$

其中 $W_i$ 是将 $W$ 的第 $i$ 列替换为 $\mathbf{d}$ 得到的矩阵。

2×2 矩阵的行列式

对于矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，

$$\det(A) = ad - bc.$$

3×3 矩阵的行列式

对于 $B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$，

$$\det(B) = a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h.$$

一个方便的记法是使用萨吕法则（Sarrus' rule）：将矩阵的前两列再写到右侧，求和三条向下对角线，再减去三条向上对角线。

应用克莱姆法则

要解一个方程组：

1. 计算主行列式 $\det(W)$。
2. 对每个变量，将 $W$ 的对应列替换为常数形成新矩阵，并计算其行列式。
3. 将变量行列式除以主行列式。

如果主行列式为零，方程组要么无解要么有无穷多解；此工具会报告属于哪种情况，在2×2情形且有多个解时还能显示解集的形式。

2×2 系统的克莱姆法则

一个2×2系统

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = d_1,\\ a_2 x + b_2 y = d_2 \end{cases}$$

的系数矩阵为 $\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}$。则

$$x = \frac{ \det\begin{pmatrix} d_1 & b_1 \\ d_2 & b_2 \end{pmatrix} }{ \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} },\qquad y = \frac{ \det\begin{pmatrix} a_1 & d_1 \\ a_2 & d_2 \end{pmatrix} }{ \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} }.$$

示例：3×3 系统

现在我们将克莱姆法则应用于旅行问题。

步骤1：主行列式。

$$\begin{aligned} \det(W) &= 1\cdot1\cdot(-1) + 1\cdot(-2)\cdot2 + 1\cdot0\cdot0 \\ &\qquad - 1\cdot1\cdot2 - 1\cdot0\cdot(-1) - 1\cdot(-2)\cdot0 \\ &= -1 - 4 + 0 - 2 - 0 - 0 = -7. \end{aligned}$$

步骤2：$x$ 的行列式（将第1列替换为常数）。

$$W_x = \begin{pmatrix} 26 & 1 & 1\\ 6 & 1 & -2\\ 12 & 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad \begin{aligned} \det(W_x) &= 26\cdot1\cdot(-1) + 1\cdot(-2)\cdot12 + 1\cdot6\cdot0 \\ &\qquad - 1\cdot1\cdot26 - 1\cdot6\cdot(-1) - 26\cdot(-2)\cdot0 \\ &= -26 - 24 + 0 - 26 + 6 - 0 = -56. \end{aligned}$$

步骤3：$y$ 的行列式（替换第2列）。

$$W_y = \begin{pmatrix} 1 & 26 & 1\\ 0 & 6 & -2\\ 2 & 12 & -1 \end{pmatrix},\qquad \begin{aligned} \det(W_y) &= 1\cdot6\cdot(-1) + 26\cdot(-2)\cdot2 + 1\cdot0\cdot12 \\ &\qquad - 1\cdot6\cdot2 - 26\cdot0\cdot(-1) - 1\cdot(-2)\cdot12 \\ &= -6 - 104 + 0 - 12 - 0 + 24 = -98. \end{aligned}$$

步骤4：$z$ 的行列式（替换第3列）。

$$W_z = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 26\\ 0 & 1 & 6\\ 2 & 0 & 12 \end{pmatrix},\qquad \begin{aligned} \det(W_z) &= 1\cdot1\cdot12 + 1\cdot6\cdot2 + 26\cdot0\cdot0 \\ &\qquad - 26\cdot1\cdot2 - 1\cdot0\cdot12 - 1\cdot6\cdot0 \\ &= 12 + 12 + 0 - 52 - 0 - 0 = -28. \end{aligned}$$

步骤5：解比值。

$$x = \frac{-56}{-7} = 8,\qquad y = \frac{-98}{-7} = 14,\qquad z = \frac{-28}{-7} = 4.$$

因此有8辆自行车、14辆汽车和4架飞机。将这些代回原方程验证满足所有三个等式。

使用线性方程组计算器

该工具是一个方便的矩阵行列式求解器，处理2×2和3×3系统。只需在指定字段中输入方程系数（计算器只接受线性方程——没有二次项或变量的平方根）。它会自动计算克莱姆法则所需的四个行列式并显示解。这使其成为学生、工程师以及任何需要快速用矩阵解线性方程的人理想的线性方程组计算器。