免费固有频率计算器

此固有频率计算器用于确定机械系统在不受持续外力作用、自由振动时的固有振动频率。它同时充当弹簧质量系统固有频率计算器、梁固有频率计算器及角频率计算器，涵盖从简单螺旋弹簧到多种支撑方式的结构梁等各种配置。通过使用此处提供的固有频率公式计算器，您可以评估系统的动态行为并识别潜在的共振条件。

定义固有频率

每个物理对象都至少有一个固有频率：它被扰动后、在没有持续外部驱动力的情况下振荡的速率。在简单物体中，这通常产生一个纯净的音调。更复杂的结构则表现出多个固有频率，由此产生的振动是这些音调的混合，被感知为噪音。在工程设计中，了解这些频率对于避免危险的共振放大至关重要，这种放大可能导致灾难性的结构失效。

固有频率与共振频率

虽然这两个术语有时混用，但它们表示不同的概念。固有频率仅指自由振动，而共振频率是系统在受到频率与固有频率相同的周期力激发时的响应频率。当激振与系统运动同相时，振荡幅度急剧增大——著名的例子是塔科马海峡大桥的坍塌。

弹簧‑质量系统

最简单的配置是一个刚度$k$的螺旋弹簧，其自由端连接质量$M$。在无摩擦的水平表面上，角固有频率为

$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{M}}$$

普通循环频率为

$$f = \dfrac{\omega}{2\pi}。$$

本计算器作为弹簧振荡频率计算器，可在角频率与循环频率之间转换，并允许您选择不同的单位。

利用静挠度的工程方法

当系统的质量和刚度不易分离时，可通过重力载荷引起的静挠度$\delta$来近似固有频率。在重力加速度$g$下：

$$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{\delta}}, \qquad f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{\delta}}。$$

如果载荷沿结构分布，则需要引入修正系数$a$（常取$a = 18$）：

$$f \approx \dfrac{a}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g}{\delta}}。$$

此方法提供了一种快速估算，适合早期设计阶段，也是结构固有频率计算器的功能之一。

梁的固有频率

对于梁的配置，固有频率取决于支撑条件及载荷类型（集中或均匀分布）。下表汇总了相关公式，其中$E$为杨氏模量，$I$为惯性矩，$L$为梁长度，$M$为集中质量，$q$为线密度。

支撑条件	载荷类型	固有频率 $f$
简支	中央质量 $M$	$f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{48EI}{M L^{3}}}$
简支	均匀分布 $q$	$f = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{EI}{q L^{4}}}$
悬臂（固定‑自由）	自由端集中质量 $M$	$f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3EI}{M L^{3}}}$
悬臂	均匀分布 $q$	$f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{12.42\,EI}{q L^{4}}}$
两端固定	均匀分布 $q$	$f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\pi^{4}EI}{q L^{4}}}$

示例：带中央质量的简支梁

考虑一根钢梁，杨氏模量$E = 178\ \text{GPa}$，惯性矩$I = 2.140\times10^{-5}\ \text{m}^{4}$，长度$L = 10\ \text{m}$，跨中集中质量$M = 500\ \text{kg}$。代入简支中央质量公式得

$$f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{48 \times 178\times10^{9} \times 2.140\times10^{-5}}{500 \times 10^{3}}} \approx 3.04\ \text{Hz}。$$

计算器自动完成此运算，并支持反向计算：您可指定目标固有频率，由工具反推所需的质量、刚度或长度。

使用计算器

要获得结果，首先选择与您物理系统匹配的配置——从弹簧‑质量振荡器到特定支撑条件的梁。以首选单位输入已知变量，如质量、刚度、杨氏模量、惯性矩、长度或线密度。计算器将应用相应的固有频率公式，同时返回角频率和普通频率。如果您心中已有目标频率，也可反向操作：指定目标固有频率，让工具求解未知参数（例如所需的弹簧刚度或梁长度）。

无论您分析的是弹簧‑质量振荡器、悬臂梁还是结构梁，此固有频率计算器都能提供所需的公式和快速结果。