免费决定系数计算器（R平方）

什么是R²（决定系数）？

决定系数，通常记作 R²（R平方），是线性回归中的一个关键指标。它量化了因变量方差中可以被自变量解释的比例。简单来说，R² 表示回归预测与真实数据点的拟合程度。因为它衡量模型的拟合优度，所以较高的 R² 表明变量之间具有更强的线性关系。

这个R平方计算器（也称为决定系数计算器或拟合优度计算器）使您能够使用简单线性回归（Y ~ aX + b）快速计算任何双变量数据集的 R² 值。它是学生、分析师和研究人员评估线性关系强度的便捷工具。

如何使用这个在线R²计算器

使用 R² 计算器很简单：

1. 将您的成对数据输入到指定的行中。随着您输入更多点，额外的行将出现。
2. 一旦您至少有3个数据点，计算器会自动计算R平方值并显示解释。
3. 您可以选择查看基本摘要或计算的全部详细信息，包括中间平方和。

无需手动计算——该工具处理从拟合回归线到计算决定系数的一切。

解释决定系数

R² 始终在0到1之间（或表示为百分比时在0%到100%之间）：

• R² = 1 表示完美拟合：所有数据点都精确落在回归线上，Y中100%的方差由X解释。
• R² = 0 表示模型不优于仅使用Y均值作为预测值；自变量无法解释任何变异。
• 中间值 表示模型解释的方差比例。例如，如果R² = 0.75，则Y中75%的方差可由X预测，而剩余25%无法解释。

要获取解释方差百分比，将R²乘以100%。未解释部分由 $(1 - R^{2}) \times 100\%$ 给出。

R²公式与关键平方和

对于数据集 $(x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n}, y_{n})$，设 $\bar{y}$ 为观测到的 $y$ 值的均值，$\hat{y}_{i}$ 为简单线性回归模型 $\hat{y} = aX + b$ 的预测值。R² 的计算依赖于三个平方和：

• 总平方和 (SST)：衡量 Y 的总变异性。

  $$SST = \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}$$

• 回归平方和 (SSR)：衡量回归模型解释的变异量。

  $$SSR = \sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_{i} - \bar{y})^{2}$$

• 误差平方和 (SSE)：也称为残差平方和，衡量观测值与预测值之间的差异。

  $$SSE = \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \hat{y}_{i})^{2}$$

这三个平方满足：$SST = SSR + SSE$。因此，决定系数可以表示为几种等价形式：

$$R^{2} = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} = \frac{SSR}{SSR + SSE}$$

逐步示例：手动计算R²

考虑数据点：$(0, 1)$, $(2, 4)$, $(4, 4)$。

1. 计算Y的均值：$\bar{y} = (1+4+4) / 3 = 3$。
2. 使用最小二乘法拟合简单回归线；得到的方程为 $\hat{y} = 0.75x + 1.5$。
3. 计算预测值：
   • 对于 $x=0$：$\hat{y}_{1} = 0.75(0) + 1.5 = 1.5$
   • 对于 $x=2$：$\hat{y}_{2} = 0.75(2) + 1.5 = 3$
   • 对于 $x=4$：$\hat{y}_{3} = 0.75(4) + 1.5 = 4.5$
4. 计算SST： $$(1-3)^{2} = 4,\quad (4-3)^{2} = 1,\quad (4-3)^{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad SST = 4+1+1 = 6$$
5. 计算SSR： $$(1.5-3)^{2} = 2.25,\quad (3-3)^{2} = 0,\quad (4.5-3)^{2} = 2.25 \quad \Rightarrow \quad SSR = 2.25+0+2.25 = 4.5$$
6. 应用R²公式： $$R^{2} = \frac{SSR}{SST} = \frac{4.5}{6} = 0.75$$ 这意味着Y中75%的方差可由X解释。

R²与皮尔逊相关的关系

在简单线性回归（一个自变量）的背景下，决定系数等于两个变量之间皮尔逊相关系数 $r$ 的平方。因此，如果您已经知道相关系数，您可以通过对 $r$ 取平方来在线计算R平方。

• 如果 $r = 0.9$，则 $R^{2} = 0.81$，意味着Y中81%的变异性可以通过与X的线性关系解释。
• 这种等价性使得线性回归计算器成为一个双重用途的工具：它同时提供相关系数和决定系数。

无论您使用的是专门的拟合优度计算器还是完整的回归工具，理解R²都有助于评估模型与数据的拟合程度，以及是否添加额外变量可能改进预测。