免费相关系数计算器

什么是相关系数？

相关系数是一种标准化度量（范围从 –1 到 +1），捕捉两个随机变量之间关系的强度和方向。±1 表示最强的关联，而 0 表示没有线性或单调联系。免费在线的 相关系数计算器 可计算四种最流行的相关系数：皮尔逊（Pearson $r$）、斯皮尔曼秩、肯德尔 τ（包括 tau‑b 和 tau‑c）以及 马修斯相关（MCC，也称为皮尔逊 φ）。无论您是完成作业还是研究项目需要计算相关系数，此工具都会提供最终数值和中间计算步骤。

尽管相关系数是标准化的效应量指标，但它们与 Cohen's d 等衡量组间差异的度量不同。

如何使用计算器

1. 选择系数 – 从下拉菜单中选择皮尔逊、斯皮尔曼、肯德尔或马修斯。
2. 输入数据 – 指定样本点数，并填入 $x$ 和 $y$ 坐标。对于马修斯系数，您将输入 2×2 混淆矩阵的四个值。
3. 查看结果 – 一旦您至少有三对数据（对于皮尔逊/斯皮尔曼/肯德尔），工具将显示系数。对于皮尔逊，它还显示决定系数（$R^2$）。
4. 显示计算细节 – 激活此选项可查看得出最终系数的每个中间和、乘积和偏差。
5. 解释强度 – 计算器根据系数的绝对值应用 Evan's (1996) 量表：

绝对值范围	强度
0.8 – 1.0	非常强
0.6 – 0.8	强
0.4 – 0.6	中等
0.2 – 0.4	弱
0.0 – 0.2	非常弱

皮尔逊相关（Pearson $r$）

皮尔逊相关系数评估两个连续变量之间的线性关系。它定义为 $X$ 和 $Y$ 的协方差除以它们标准差的乘积：

$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \;\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$$

其中 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的样本均值。较低的皮尔逊 $r$ 并不意味着变量无关——它仅表示没有线性模式。可能存在强非线性（例如二次或指数）关系。在简单线性回归 $Y = aX + b$ 中，皮尔逊系数的平方等于决定系数 $R^2$，它表示 $Y$ 中被 $X$ 解释的方差比例。

斯皮尔曼秩相关

斯皮尔曼相关本质上是将皮尔逊系数应用于数据的秩。要获得秩，将每个样本从最小到最大观察值分别排序，最小值赋予秩 1。通过分配如果所有值都没有结时结值将获得的秩平均值来解决结。

$$r_s = \frac{\sum_{i=1}^{n} (R_i - \bar{R})(S_i - \bar{S})} {\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (R_i - \bar{R})^2 \sum_{i=1}^{n} (S_i - \bar{S})^2}}$$

其中 $R_i$ 和 $S_i$ 分别是 $x_i$ 和 $y_i$ 的秩。由于它基于秩，斯皮尔曼系数可以检测任何单调关系（线性或非线性），因此比皮尔逊更灵活。

肯德尔秩相关（τ）

肯德尔的 $\tau$ 通过比较每一对可能的观测值来衡量关联。对于两对 $(x_i, y_i)$ 和 $(x_j, y_j)$：

• 一致对 如果 $x_i < x_j$ 且 $y_i < y_j$（或两个不等式都反向）。
• 不一致对 如果 $x_i < x_j$ 但 $y_i > y_j$（或反之）。

当没有结时，基本系数（tau‑a）为：

$$\tau_a = \frac{C - D}{C + D}$$

其中 $C$ = 一致对数，$D$ = 不一致对数。

如果存在结，提供两种调整变体：

• Tau‑b：当两个变量具有相同数量的可能类别（例如正方形列联表）时适用。它校正 $X$ 和 $Y$ 中的结：

$$\tau_b = \frac{C - D}{\sqrt{(C + D + T_x)(C + D + T_y)}}$$

其中 $T_x$ 是仅在 $X$ 上结的对数，$T_y$ 是仅在 $Y$ 上结的对数。

• Tau‑c（Stuart–Kendall）：当列联表为矩形（行 $r$ 和列 $c$ 数量不同）时使用：

$$\tau_c = \frac{C - D}{\frac{1}{2} n^2 \frac{m-1}{m}}, \quad m = \min(r,c)$$

马修斯相关（MCC / 皮尔逊 φ）

马修斯相关专为二分类任务设计。常见于机器学习和生物医学研究。数据排列在 2×2 混淆矩阵中：

	预测正类	预测负类
实际正类	TP	FN
实际负类	FP	TN

MCC 公式为：

$$MCC = \frac{TP \times TN - FP \times FN} {\sqrt{(TP + FP)(TP + FN)(TN + FP)(TN + FN)}}$$

解释与其他系数略有不同：

• +1 → 完美预测，
• 0 → 无有用信息，
• –1 → 预测与实际结果完全不一致。

手动示例：手动计算皮尔逊 $r$

假设您有两个小样本：

$X = \{2,\; 7.5,\; 3,\; 34.2,\; 26\}$
$Y = \{21,\; 12.5,\; 3,\; 11,\; 17\}$

1. 计算均值：
   $\bar{x} = (2 + 7.5 + 3 + 34.2 + 26)/5 = 14.54$
   $\bar{y} = (21 + 12.5 + 3 + 11 + 17)/5 = 12.90$

2. 填充偏差表：

$x$	$y$	$x - \bar{x}$	$y - \bar{y}$	$(x-\bar{x})^2$	$(y-\bar{y})^2$	$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$
2	21	–12.54	8.10	157.252	65.610	–101.574
7.5	12.5	–7.04	–0.40	49.562	0.160	2.816
3	3	–11.54	–9.90	133.172	98.010	114.246
34.2	11	19.66	–1.90	386.516	3.610	–37.354
26	17	11.46	4.10	131.332	16.810	46.986
Sum				857.832	184.200	25.120

3. 代入皮尔逊公式：

$$r = \frac{25.120}{\sqrt{857.832 \times 184.200}} \approx 0.063$$

结果（$r \approx 0.063$）落入预期的 –1 到 +1 范围内，根据 Evan's 量表，表示非常弱的线性关系。您可以将相同数据输入相关系数计算器并启用计算细节来验证每一步。