免费扩散系数计算器

扩散与扩散系数

扩散是粒子通过随机热运动从高浓度区域扩散到低浓度区域的过程。扩散系数（$D$）量化了这种传输的难易程度。扩散系数计算器（一个免费在线工具）允许您使用爱因斯坦-斯莫卢霍夫斯基关系式计算各种形状粒子的$D$。通过输入温度、溶剂粘度和粒子尺寸等参数，您可以快速获得准确的扩散系数。

爱因斯坦-斯莫卢霍夫斯基关系式

扩散系数的推导始于菲克第一定律，该定律将粒子通量$J$描述为扩散和外力的组合：

$$J = -D \frac{\partial c}{\partial x} + \frac{c f}{\xi}$$

其中$c$是浓度，$f$是外力，$\xi$是摩擦系数。当净流量为零（平衡）时，两种贡献相互平衡，得出：

$$D = \frac{k_B T}{\xi}$$

这里$k_B$是玻尔兹曼常数（$1.380649 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$），$T$是绝对温度（开尔文），$\xi$是摩擦系数（SI单位如s/kg）。该公式表明温度越高扩散越快，摩擦系数越大扩散越慢。

常见粒子形状的摩擦系数

摩擦系数取决于粒子的形状和大小，以及溶剂的动态粘度$\eta$。以下是几种几何形状的$\xi$汇总：

形状	摩擦系数 $\xi$
球体 (低雷诺数)	$6\pi \eta a$
圆盘 (正面)	$16 \eta a$
圆盘 (侧面)	$\dfrac{32}{3} \eta a$
圆盘 (随机运动)	$12 \eta a$
椭球 (纵长向)	$\dfrac{4\pi \eta a}{\ln(2a/b) + 1/2}$
椭球 (侧向)	$\dfrac{8\pi \eta a}{\ln(2a/b) + 1/2}$
椭球 (随机运动)	$\dfrac{6\pi \eta a}{\ln(2a/b)}$

在表中，$a$和$b$表示粒子的半轴，$\eta$是溶剂的动态粘度。对于球形粒子，将球体的摩擦系数代入扩散公式可得著名的爱因斯坦-斯托克斯关系式。

计算示例

考虑硫化叶菌椭球病毒1，这是一种椭球病毒，半轴$a = 115\ \text{nm}$和$b = 78\ \text{nm}$。假设它于$90\,^{\circ}\text{C}$（即$363.15\ \text{K}$）的水中进行随机翻滚。水在该温度下的动态粘度约为$0.00089\ \text{Pa·s}$。

对于随机运动的椭球，其摩擦系数为：

$$\xi = \frac{6\pi \eta a}{\ln(2a/b)} = \frac{6\pi (0.00089\ \text{Pa·s})(115 \times 10^{-9}\ \text{m})}{\ln\bigl(2 \times 115 / 78\bigr)} \approx 3.0 \times 10^{-10}\ \text{s/kg}$$

然后扩散系数为：

$$D = \frac{k_B T}{\xi} = \frac{(1.380649 \times 10^{-23}\ \text{J/K})(363.15\ \text{K})}{3.0 \times 10^{-10}\ \text{s/kg}} \approx 1.7 \times 10^{-11}\ \text{m}^2/\text{s}$$

该结果展示了水中的纳米尺度粒子预期数量级。

使用扩散系数计算器

免费的在线扩散系数计算器实现了表中所示的所有摩擦系数公式。使用方法：

1. 选择粒子的形状（例如球体、圆盘、椭球）。
2. 输入所需的尺寸（例如半径或半轴）。
3. 提供溶剂的动态粘度和绝对温度。
4. 计算器立即返回扩散系数。

该工具也可以反向使用：如果有实测的扩散系数，可以推算出摩擦系数，这对于分子大小的粒子通常更容易获得。