免费超几何分布计算器

超几何分布计算器简介

超几何分布计算器是一个专用工具，用于计算与超几何概率分布相关的概率，这是一种离散概率分布，模拟从有限总体中无放回抽取固定大小样本的成功次数。该超几何概率计算器可计算给定参数下的概率质量函数 (PMF) 和累积分布函数 (CDF)，使其成为统计学、质量控制和机会游戏的不可或缺的资源。

什么是超几何分布？

超几何分布描述了从包含恰好 $K$ 次成功的总体（大小为 $N$）中抽取大小为 $n$ 的样本时，恰好获得 $k$ 次成功（具有特定属性的项目）的概率。关键的是，每个项目只能被选择一次——无放回抽样——因此成功概率会随着项目的移除而改变。这与二项抽样形成对比，后者通过放回抽样保持概率恒定。

该分布自然地出现在许多现实场景中：从一副牌中抽牌、从一批产品中挑选次品，或者用于小型列联表的费希尔精确检验。只要总体有限且抽样无放回，超几何分布概率计算就至关重要。

超几何分布的参数

四个参数定义特定的超几何场景：

• $N$ – 总体中的项目总数。
• $K$ – 总体中“成功”项目的数量。
• $n$ – 抽取的项目数（样本量）。
• $k$ – 样本中观察到的成功次数（用作 PMF 的输入）。

服从超几何分布的随机变量 $X$ 表示为 $X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n)$。

关键公式

恰好获得 $k$ 次成功的概率由下式给出：

$$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}$$

其中 $\binom{a}{b}$ 是二项式系数。

等价的阶乘形式：

$$P(X = k) = \frac{K! \ (N-K)! \ n! \ (N-n)!}{N! \ k! \ (K-k)! \ (n-k)! \ (N-K-n+k)!}$$

超几何分布的均值（期望值）为：

$$\mu = n \cdot \frac{K}{N}$$

方差为：

$$\sigma^2 = \frac{n \cdot K \cdot (N - K) \cdot (N - n)}{N^{2} \cdot (N - 1)}$$

标准差是方差的平方根：

$$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$$

如何使用超几何 PMF 和 CDF 计算器

操作此超几何分布计算器很简单：

1. 输入总体大小 $N$、总体成功数 $K$ 和样本量 $n$。
2. 指定观察到的成功次数 $k$。
3. 选择概率类型：PMF 用于 $P(X = k)$，或 CDF 用于累积概率，如 $P(X > k)$、$P(X \geq k)$、$P(X < k)$ 或 $P(X \leq k)$。
4. 计算器立即返回所请求的概率。在结果下方，它还会显示分布针对您参数的均值、方差和标准差。

该工具消除了繁琐的阶乘计算，可在几秒钟内为您提供准确的超几何分布概率结果。

示例

假设一个盒子包含 12 块黑巧克力和 36 块白巧克力（总体 $N = 48$，$K = 12$）。你无放回地随机抽取 10 块巧克力（$n = 10$）。恰好抽到 4 块黑巧克力的概率是多少？

$$P(X = 4) = \frac{\binom{12}{4} \binom{36}{6}}{\binom{48}{10}} \approx 0.1474$$

使用计算器，你还可以找到：

• $P(X \geq 4) \approx 0.2023$
• 均值：$\mu = 10 \times 12/48 = 2.5$
• 方差：$\sigma^2 \approx 1.5160$
• 标准差：$\sigma \approx 1.2313$

超几何 CDF 计算器可以快速为你累加各个概率。

超几何分布 vs. 二项分布

两种分布都计算 $n$ 次试验中的成功次数，但它们在抽样方法上不同：

特征	超几何分布	二项分布
抽样方式	无放回	有放回
试验依赖性	相关（总体变化）	独立（概率恒定）
总体大小	有限，已知	无限或非常大
成功概率	每次抽取变化	恒定 $p$

当总体大小 $N$ 相对于样本量 $n$ 很大时，超几何分布近似于二项分布，但它们仍然不同。

在以下情况下使用超几何分布：

• 抽样无放回。
• 总体有限且相对于样本不是非常大。

在以下情况下使用二项分布：

• 抽样有放回。
• 每次试验独立且概率恒定。

结论

超几何分布概率计算器为无放回抽样问题提供了一种快速可靠的计算概率、均值和方差的方法。无论您是在分析质量控制样本、纸牌游戏，还是进行费希尔精确检验，此超几何概率计算器和无放回抽样计算器都能处理繁重的数学运算。