免费对数正态分布计算器

什么是对数正态分布？

对数正态分布（也称对数-正态）是一种仅适用于正随机变量的连续概率分布。其定义性质是：当变量 $X$ 的自然对数 $\ln(X)$ 服从正态分布时，$X$ 服从对数正态分布。等价地，如果 $Y$ 服从均值为 $\mu$、标准差为 $\sigma$ 的正态分布，则 $e^{Y}$ 服从对数正态分布。由于指数函数的输出始终为正，每个对数正态变量都严格大于零。

对数正态分布的参数

该分布由两个对数正态分布参数刻画：

• $\mu$ – 尺度参数（底层正态分布的均值）。
• $\sigma$ – 形状参数（底层正态分布的标准差）。

务必记住，$\mu$ 和 $\sigma$ 并非 $X$ 本身的均值和标准差；它们描述的是对数（服从正态分布）的统计量。$X$ 的实际均值、方差及其他统计量是通过指数变换从这些参数导出的。

概率密度函数 (PDF) 与累积分布函数 (CDF)

对数正态分布的概率密度函数（$x > 0$）为：

$$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\,\sqrt{2\pi}} \exp\!\left( -\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$$

累积分布函数 (CDF) 给出 $X \leq x$ 的概率，并用标准正态 CDF $\Phi$ 表示：

$$F(x) = \Phi\!\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right)$$

正态分布与对数正态分布之间的这种直接联系使得在使用对数正态概率计算器进行所有对数正态 PDF CDF 计算时非常直观。

分位数函数

对于概率 $p \in [0,1)$，对数正态分位数函数（逆 CDF）为：

$$Q(p) = \exp\!\left( \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \right)$$

该函数对于从对数正态分布生成随机样本以及在给定累积概率的情况下确定阈值至关重要。

均值、方差及其他关键统计量

对数正态均值方差及其他常用统计量直接用 $\mu$ 和 $\sigma$ 表示。对于对数正态变量 $X$：

• 均值： $\displaystyle \mathbb{E}[X] = e^{\mu + \sigma^2/2}$
• 中位数： $\displaystyle \text{Med}[X] = e^{\mu}$
• 众数： $\displaystyle \text{Mode}[X] = e^{\mu - \sigma^2}$
• 方差： $\displaystyle \text{Var}[X] = \left(e^{\sigma^2} - 1\right) e^{2\mu + \sigma^2}$
• 偏度： $\displaystyle \text{Skew}[X] = \left(e^{\sigma^2} + 2\right) \sqrt{e^{\sigma^2} - 1}$

一旦已知对数正态分布参数，这些闭式公式即可实现即时计算。

对数正态分布的应用

对数正态分布出现在许多实际场景中，这些场景的变量为正且源自乘法过程。典型应用包括：

• 可靠性工程 – 模拟机械或电子元件的失效时间。
• 金融与经济 – 股票价格、资产收益、收入分布。
• 水文学 – 月最大日降雨量或河流径流量。
• 互联网分析 – 评论长度、阅读文章所花时间、单位时间网络流量。

每种情况下，假设数据服从对数正态分布能很好地拟合右偏的正值数据。

如何使用此对数正态分布计算器

该免费在线统计学工具提供六种不同的计算模式：

1. 选择模式 – 从 pdf、cdf、分位数、样本生成器、常用统计量（均值/方差）或偏度中选择。
2. 输入参数 – 输入尺度参数 $\mu$ 和形状参数 $\sigma$。
3. 提供额外输入 – 对于 pdf/cdf，输入值 $x$；对于分位数，输入概率 $p$；对于样本生成，指定样本大小。
4. 获取即时结果 – 计算器将返回所求的量，并在适用时显示图形。

无论您需要评估对数正态 PDF CDF、计算对数正态分位数函数，还是根据给定参数推导对数正态均值方差，该工具都能简化整个过程。