免费负二项分布计算器

引言

负二项分布计算器（也称为帕斯卡分布计算器）是一款免费在线帕斯卡分布工具，用于计算在具有恒定成功概率 $p$ 的一系列独立伯努利试验中，达到固定成功次数 $r$ 所需特定试验次数 $n$ 的概率。该负二项概率计算器还提供概率质量函数（PMF）、均值、方差和累积概率，是分析统计学、质量控制及日常决策中等待时间问题的重要资源。

理解负二项分布

二项分布和负二项分布都对具有两种结果（成功/失败）和恒定成功概率的独立试验序列进行建模。关键区别在于随机变量的定义：

• 二项分布：试验次数 $n$ 固定，随机变量为成功次数 $X$（可能取值 $0 \le X \le n$）。
• 负二项分布：成功次数 $r$ 固定，随机变量为达到这 $r$ 次成功所需的试验次数 $Y$（可能取值 $Y \ge r$）。

换句话说，二项分布回答“在 $n$ 次试验中发生多少次成功？”，而负二项分布回答“需要多少次试验才能获得 $r$ 次成功？”。由于理论上可能永远失败，负二项分布的尾部延伸到无穷大。

现实世界示例

负二项场景在实践中经常出现：

• 掷骰子直到出现三个 6。
• 万圣节敲门直到收集到 20 块糖果。
• 抛硬币直到获得四次正面。
• 罚点球直到攻入三个球。

在每种情况下，只有达到所需成功次数时才停止，总尝试次数（试验数）是随机结果。

概率质量函数（PMF）

负二项分布 PMF 给出恰好需要 $n$ 次试验才能达到 $r$ 次成功的概率：

$$P(Y=n) = \binom{n-1}{r-1}\, p^{\,r}\, (1-p)^{\,n-r}, \qquad n = r, r+1, r+2, \dots$$

二项式系数 $\binom{n-1}{r-1}$ 计算在前 $n-1$ 次试验中安排前 $r-1$ 次成功的方式数，确保第 $r$ 次成功恰好发生在最后一次试验上。该负二项公式是该工具所有概率计算的基础。

均值与方差

期望试验次数及其变异性由下式给出：

$$\mu = \frac{r}{p}, \qquad \sigma^{2} = \frac{r(1-p)}{p^{2}}$$

例如，成功概率为 $0.4$，目标成功次数为 $15$，所需的平均试验次数为 $15/0.4 = 37.5$，方差为 $15 \times 0.6 / 0.4^{2} \approx 56.25$。这些指标在规划样本量或评估顺序过程风险时特别有用。

使用帕斯卡分布计算器

假设你在发传单，必须发出 $15$ 份（成功）。路人接受传单的概率为 $0.4$。要找出恰好需要 $25$ 次尝试的概率：

1. 设置参数：$r = 15$，$n = 25$，$p = 0.4$。
2. 计算组合数：$\binom{24}{14} = 1,\!961,\!256$。
3. 应用 PMF： $$P(Y=25) = 1,\!961,\!256 \times (0.4)^{15} \times (0.6)^{10}$$

计算器会立即执行此乘法，返回精确概率。它还可以计算累积概率（例如，需要 $25$ 次或更少试验的概率），并支持不同的参数化。无论你是准备考试还是分析现实世界的等待时间数据，这款 试验次数计算器 都能节省时间并消除手动计算错误。